Körperberechnung / Volumenberechnung - Aufgaben


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Körperberechnung / Volumenberechnung - Aufgaben

Körperberechnung wird im Mathematikunterricht in den höheren Klassen behandelt. Die Aufgaben aus der Geometrie zur Bestimmung des Körpervolumens lassen sich durch passende Formeln relativ leicht lösen. Häufig fangen wir bei den Übungsaufgaben zunächst mit einfacheren Körpern wie Würfel, Quader, Zylinder, Pyramide, Kegel oder Kugel an. Die nächste Stufe sind dann häufig zusammengesetzte Figuren, die zur Bestimmung des Volumens zunächst in einzelne Körperformen aufgeteilt werden müssen.

Formeln zur Volumenberechnung
Bei der Ermittlung des Volumens ist es meist hilfreich zunächst die Fläche einer Ansicht zu bestimmen. Das sollte man vorher natürlich mit unseren Aufgaben zur Flächenberechnung üben. Sobald man die Fläche berechnet hat, muss nur noch eine Dimension hinzugefügt werden, um das dreidimensionale Volumen des Körpers zu bestimmen.

Körperberechnung Würfel
Ein Würfel hat die Eigenschaft, dass alle 12 Kanten gleich lang sind. Außerdem sind alle Winkel rechtwinklig = 90°. Somit gehört die Formel zur Körperberechnung des Würfels zu den Einfacheren.

Formel Würfel-Volumen: V = a³
Körperberechnung Quader
Der Quader besteht aus sechs rechteckigen Flächen, dessen Winkel alle rechtwinklig sind. Der Quader hat außerdem insgesamt 12 Kanten, von denen jeweils vier Kanten gleich lang und parallel zueinander sind.

Formel Quader-Volumen: V = a · b · c
Körperberechnung Zylinder
Ein Zylinder hat eine Grund-, und Deckfläche die parallel und deckungsgleich zueinander verlaufen. Außerdem besitzt der Zylinder eine Mantelfläche, die aus parallelen Geraden gebildet wird. In der Umgangssprache ist mit einem Zylinder immer ein Kreiszylinder gemeint, welcher durch Verschiebung eines Kreises parallel zu einer Geraden durch den Kreismittelpunkt entsteht.

Formel Zylinder-Volumen: V = r² · π · h
Körperberechnung Prismen
Ein Prisma bzw. Mehrzahl-Prismen sind geometrische Körper mit einem Vieleck als Grundfläche. Oftmals werden Prismen mit einem Dreieck als Grundfläche in den Beispielen verwendet. Prismen entstehen durch eine Parallelverschiebung der Grundfläche entlang einer Geraden. Ist die Verschiebung senkrecht zur Grundfläche, handelt es sich um einen geraden Prisma, ansonsten ist es ein schiefer Prismakörper.

Formel Prismen-Volumen: V = Ag · h
Körperberechnung Pyramide
Die Pyramide hat immer ein Vieleck als Grundfläche, welches durch Dreiecke umschlossen wird. Die Dreiecke treffen sich an der Spitze der Pyramide auf einem Punkt. Die Dreiecke bilden somit die Mantelfläche der Pyramide. Je nachdem welche Figur die Pyramide als Grundfläche hat, spricht man u.a. von einer quadratischen, rechteckigen, fünfseitigen oder sechsseitigen Pyramide.

Formel Pyramide-Volumen: V = (a² · h) x 1/3
Körperberechnung Kegel
Der Kegel hat immer eine runde Grundfläche, welche mit einem Punkt außerhalb der Grundfläche verbunden ist. Diesen Punkt nennt man den Scheitelpunkt. Der Mantel umschließt den Scheitelpunkt und die runde Grundfläche. Der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt und der Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Beim geraden Kegel liegt der Scheitelpunkt immer genau über dem Mittelpunkt der Grundfläche.

Formel Kegel-Volumen: V = (r² · π · h)/3
Körperberechnung Kugel
Eine Kugel entsteht durch die Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser, man nennt diese Fläche auch Rotationsfläche. Zieht man durch die Kugel einen Schnitt, so entsteht immer eine Kreisfläche.

Formel Kugel-Volumen: V = (4 · r³ · π)/3
Noch mehr Matheaufgaben mit Online Lösungen oder zum Ausdrucken gibt es u.a. auf unseren Seiten Flächenberechnung, Mathetest, Grundrechenarten und Geometrie.

FrageAnzahl
Um im November sicher Naturschnee für eine Langlaufloipe zur Verfügung zu haben, soll in einem Wintersportort bereits im Januar Schnee angehäuft und mit einer Dämmschicht geschützt werden. Trotz der Dämmschicht ist davon auszugehen, dass im November nur noch etwa 60 % des im Januar angehäuften Schnees vorhanden sind. Berechne, wie viele m³ Schnee im Januar mindestens angehäuft werden müssen, um daraus im November eine 3 km lange, 2 m breite und 50 cm hohe Schneeschicht herstellen zu können.

Häufigkeit der Antworten:
4000 m³ (17.36%), 5000 m³ (45.21%) richtig, 15.000 m³ (23.68%), 10.000 m³ (13.74%), 3000 m³ (23.93%)
1630
Ein gerader Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche hat eine Höhe von 5 mm. Das Dreieck hat eine Seitenlänge von 10 mm und eine Höhe von 7 mm. Berechnen Sie das Volumen.
Ein gerader Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche hat eine Höhe von 5 mm. Das Dreieck hat eine Seitenlänge von 10 mm und eine Höhe von 7 mm. Berechnen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
517 mm³ (20.35%), 715 mm³ (21.32%), 175 mm³ (50.52%) richtig, 157 mm³ (7.82%)
19095
Eine Kugel hat einen Radius von 9 cm. Berechnen Sie das Volumen.
Eine Kugel hat einen Radius von 9 cm. Berechnen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
2.503,63 cm³ (21.85%), 3.053,63 cm³ (53.16%) richtig, 1.305,63 cm³ (16.57%), 4.503,63 cm³ (8.41%)
64248
Ein Quadrat hat einen Umfang von 36 cm. Welches Volumen hätte ein Würfel mit der gleichen Seitenlänge wie das Quadrat?
Ein Quadrat hat einen Umfang von 36 cm. Welches Volumen hätte ein Würfel mit der gleichen Seitenlänge wie das Quadrat?
Häufigkeit der Antworten:
81 m³ (22.68%), 426 m³ (25.39%), 927 m³ (12.79%), 729 m³ (39.14%) richtig
17308
Eine Pyramide hat eine Höhe von 8 m und ein Quadrat als Grundfläche mit einer Seitenlänge von 20 m. Wie hoch ist das Volumen der Pyramide?
Eine Pyramide hat eine Höhe von 8 m und ein Quadrat als Grundfläche mit einer Seitenlänge von 20 m. Wie hoch ist das Volumen der Pyramide?
Häufigkeit der Antworten:
1066,66 m³ (32.97%) richtig, 1600 m³ (36.43%), 2033,33 m³ (13.08%), 3200 m³ (17.53%)
3931
Ein Kegel mit der Höhe von 15 cm hat einen Kreis als Grundfläche mit einem Radius von 5 cm. Berechen Sie das Volumen.
Ein Kegel mit der Höhe von 15 cm hat einen Kreis als Grundfläche mit einem Radius von 5 cm. Berechen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
932,70 cm³ (29.23%), 293,70 cm³ (20.48%), 392,70 cm³ (35.11%) richtig, 792,30 cm³ (15.18%)
53807
Ein Würfel hat eine Seitenlänge von 7 cm. Wie hoch ist das Volumen?
Ein Würfel hat eine Seitenlänge von 7 cm. Wie hoch ist das Volumen?
Häufigkeit der Antworten:
21 cm² (22.29%), 34 cm³ (12.36%), 343 cm³ (61.25%) richtig, 33 cm² (4.1%)
18332
Ein Zylinder mit einer kreisförmigen Grundfläche hat einen Durchmesser von 10 cm und eine Höhe von 20 cm. Berechnen Sie das Volumen.
Ein Zylinder mit einer kreisförmigen Grundfläche hat einen Durchmesser von 10 cm und eine Höhe von 20 cm. Berechnen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
570,80 cm³ (23.46%), 2.500,80 cm³ (19.63%), 1.500,00 cm³ (18.59%), 1.570,80 cm³ (38.32%) richtig
17060
Gesucht wird das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen a = 6 cm, b = 7 cm und c = 3 cm.
Gesucht wird das Volumen eines Quaders mit den Seitenlängen a = 6 cm, b = 7 cm und c = 3 cm.
Häufigkeit der Antworten:
86 cm³ (11.67%), 126 cm³ (71.29%) richtig, 216 cm³ (12.17%), 612 cm³ (4.88%)
21327
Ein Industriezylinder hat eine Höhe von h = 25 cm und einen Durchmesser von d = 5 cm. Berechnen Sie das Volumen.
Ein Industriezylinder hat eine Höhe von h = 25 cm und einen Durchmesser von d = 5 cm. Berechnen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
489,14 cm³ (19.24%), 389 cm³ (28.42%), 490,87 cm³ (40.9%) richtig, 19,63 cm³ (11.44%)
17586
Eine Pyramide hat eine Grundfläche von 1540 m² und die Höhe von 15 m. Berechnen Sie das Volumen.
Eine Pyramide hat eine Grundfläche von 1540 m² und die Höhe von 15 m. Berechnen Sie das Volumen.
Häufigkeit der Antworten:
23100 m² (17.59%), 23100 m³ (35.35%), 7700 m³ (34.9%) richtig, 15400 m³ (12.15%)
44817


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